logika matematika

BAB I

Pendahuluan

Logika disebut juga “the calculus of computer science” karena logika memegang peranan yang sangat penting di bidang ilmu komputer. Peran kalkulus (matematika) sama pentingnya untuk ilmu-ilmu bidang sains, misalnya ilmu fisika, ilmu elektronika, ilmu kimia, dan sebagainya. Oleh karena itu, biasanya pelajar, mahasiswa, guru, dan dosen setuju bahwa logika memainkan peranan penting dalam berbagai bidang keilmuan, bahkan dalam kehidupan manusia sehari-hari.

Logika, komputasi numerik, dan matematika diskrit memiliki peran penting dalam ilmu komputer karena semuanya berperan dalam pemrograman. Logika merupakan dasar-dasar matemtis suatu perangkat lunak, digunakan untuk memformalkan semantik bahasa pemrograman dan spesifikasi program, serta menguji ketepatan suatu program. Hal ini menunjukkan betapa pentingnya logika matematika karena banyak ilmu, khususnya dalam bidang ilmu komputer, yang memerlukan logika untuk berkembang.

Logika dalam ilmu komputer dalam ilmu komputer digunakan sebagai dasar dalam belajar bahasa pemrograman, struktur data, kecerdasan buatan, teknik/sistem digital, basis data, teori komputasi, rekayasa perangkat lunak, sistem pakar, jaringan syaraf tiruan, dan lain-lainnya yang mempergunakan logika secara intensif. Salah satu contoh yang populer adlah sistem digital, yaitu bidang ilmu yang didasari oleh logika untuk membuat gerbang logika (logic gates) dan arsitektur komputer sebagai inti mikroprosesor, otak komputer atau central processing unit.

Logika matematika (mathematical logic) adalah cabang ilmu di bidang matematika yang memperdalam masalah logika, atau lebih tepatnya memperjelas logika dengan kaidah-kaidah matematika.

Logika matematika sendiri juga terus berkembang, mulai dari logika proposional, logika predikat, pemrograman logika, dan sebaganya. Perkembangan terakhir ilmu logika adalah logika fuzzy, atau di Indonesia disebut logika kabur atau logika samar. Implementasi logika fuzzy dapat ditemui pada pengatur suhu udara (AC), mesin pencuci, kulkas, lainnya.

Dari penjelasan diatas bisa disimpulkan mengenai peran penting logika dalam ilmu komputer. Jika seseorang ingin mempelajari ilmu komputer, maka ia tidak bisa terlepas dari masalah logika. Oleh karena itu, logika matematika dipelajari secara formal di perguruan tinggi, khususnya dalam ilmu komputer sebagai matakuliah wajib selama 1 semester. Di indonesia sendiri ilmu komputer lebih populer dengan nama Teknik Informatika atau Teknologi Informasi

BAB II

1. Kalimat Pernyataan

Pengertian logika matematika termasuk logika modern dan logika tradisional

dengan pentingnya belajar logika secara panjang lebar disajikan dalam buku materi

pokok (modul) mata kuliah Pengantar Dasar Matematika. Khusus dalam sajian

sekarang kita akan mengawalinya dengan salah satu konsep dasar logika matematika

yang disebut pernyataan atau proposisi (prepotitio).

1. Kalimat Pernyataan

Dalam pelajaran logika matematika kalimat pernyataan haruslah dibedakan

dengan kalimat-kalimat biasa dalam bahasa sehari-hari. Kalimat pernyataan atau

disingkat dengan pernyataan tidak sama dengan kalimat biasa, sebab dalam kalimat

biasa sering dipilih kata-kata yang pantas, yang mudah, kiasan atau ungkapan yang

kabur, dan kadang-kadang dipakai kata-kata yang bermakna ganda. Sebaliknya

dalam pernyataan tidaklah demikian, tetapi kalimatnya haruslah lengkap, tidak kabur

dan jelas.

Suatu ciri logis dalam pelajaran matematika, bahwa yang dimaksudkan

dengan pernyataan yaitu suatu kalimat yang hanya benar saja atau salah saja, tidak

dua-duanya pada saat yang sama, artinya tidak sekaligus benar dan salah. Sedangkan

kalimat yang benar tidak, salahpun tidak adalah bukan pernyataan. Untuk lebih

jelasnya kita perhatikan tiga kelompok contoh berikut ini.

Contoh (Pernyataan yang benar) :

a. Jakarta adalah ibu kota negara Republik Indonesia

b. Jika x = 4, maka 2x = 8

c. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan

Contoh (Pernyataan yang salah) :

a. Udara adalah benda padat

a. x – y = y – x; x ≠ y

c. Setiap bilangan prima adalah ganjil

Contoh (Bukan pernyataan) :

a. x + 7 = 0

b. x² + 2x – 15 = 0

c. a + b > 9

Istilah-istilah lain untuk pernyataan adalah kalimat matematika tertutup,

kalimat tertutup, kalimat deklaratif, statement, atai proposisi. Sedangkan istilah lain

untuk kalimat yang bukan pernyataan adalah kalimat matematika terbuka atau

kalimat terbuka. Namun ada beberapa akhli logika dalam bukunya yang

membedakan istilah pernyataan dan istilah proposisi. Hal ini berhubungan dengan

pemakaiannya. Istilah pernyataan (statement) digunakan untuk menyatakan,

sedangkan istilah proposisi (proposition) digunakan untuk kalimat tertutup. Akan

tetapi pada umumnya para khli logika tidak membedakan pengertian pernyataan dan

pengertian proposisi. Dalam modul ini istilah proposisi tetap diartikan sebagai

kalimat tertutup, sedangkan kalimat pernyataan akan dipakai untuk keperluan

tertentu umumnya sama seperti buku-buku lainnya, bahwa istilah kalimat pernyataan

tidak dibedakan dengan pengertian proposisi.

• Pernyataan Tunggal dan Pernyataan Majemuk

Suatu kalimat selain dapat dibedakan atas pernyataan dan bukan pernyataan,

kalimat itu dibedakan pula atas pernyataan tunggal (simple statement) dan

pernyataam majemuk (compound statement). Pernyataan tunggal atau pernyataan

sederhana ialah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain sebagai bagiannya.

Pernyataan majemuk itu bisa merupakan kalimat baru yang diperoleh dari

penggabungan bermacam-macam pernyataan tunggal.

Contoh

a. Pernyataan “19 adalah bilangan prima” dapat dilambangkan dengan huruf “p”

saja.

b. Pernyataan “x²= 1” dilambangkan “r”, dan sebagainya.

Dua pernyataan tunggal atau lebih dapat kita gabungkan menjadi sebuah

kalimat baru yang merupakan pernyaan majemuk. Sedangkan tiap pernyataan bagian

dari pernyataan majemuk itu disebut kompnen-komponen pernyataan majemuk.

Komponen-komponen dari pernyataan majemuk itu tidak selamanya harus

pernyataan tunggal, tetapi mungkin saja berupa pernyataan majemuk. Namun yang

perlu untuk kita adalah bagaimana mengusahakan cara menggabungkan pernyataan-

pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk.

Untuk menggabungkan pernyatan-pernyataan tunggal menjadi pernyataan

majemuk dapat dipakai kata hubung atau kata perangkai yang disebut operasi-

operasi logika matematika. Dalam pelajaran logika ini Anda jumpai operasi-operasi

seperti dalam pelajaran matematika lainnya, yaitu operasi binar (binary operation),

atau operasi yang dikenakan pada dua pernyaan dan operasi monar (monary

operation) operasi pada sebuah pernyataan.

Adapun operasi-perasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk yang

kita kenal adalah :

1. Negasi atau ingkaran atau sangkalan, dengan kata penyangkalan “tidaklah benar”.

2. Konjungsi, dengan kata perangkai “dan”.

3. Disjundsi dengan kata perangkai “atau”.

4. Implikasi atau kondisional, dengan kata perangkai “jika … maka …”.

5. Biimplikasi atau bikondisional, dengan kata perangkai “ … jika dan hanya jika

…”.

Operasi-operasi ini akan Anda jumpai penjelasannya secara lebih lanjut

dalam bagian-bagian mendatang. Sedangkan untuk lebih memahami pernyataan-

pernyataan mejemuk dapatlah kita perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh

a. Bunga mawar berwarna merah dan bungan melati berwarna putih.

b. Ani dan Ana anak kembar

c. Cuaca cerah atau udara panas.

d. Jika x > 0 maka x²= x.

e. Suatu segitiga adalah sama sisi jika dan hanya jika ketiga sudutnya sama.

f. Tidaklah benar bahwa 15 adalah bilangan prima.

Contoh 5. a adalah pernyataan majemuk yaitu suatu konjungsi, sebab pernyataan

“Bunga mawar berwarna merah dan bunga melati berwarna putih” terdiri dari dua

pernyataan tunggal sebagai komponen-komponennya, yaitu : “ Bunga mawar

berwarna merah” dan “Bungan melati berwarna putih”.

Sedangkan contoh 5. b adalah bukan pernyataan mejmuk bentuk konjungsi,

sebab dalam contoh ini tidak memuat dua komponen meskipun menggunakan kata

“dan” tetapi ini adalah pernyataan tunggal yang menyatakan hubungan. Tetapi

contoh-contoh 5. 3 sampai contoh 5. f adalah bentuk-bentuk pernyataan majemuk.

• Nilai Kebenaran Pernyataan

Seperti Anda ketahui, bahwa suatu pernyataan hanyalah bisa benar saja atau

salah saja. Kebenaran atau kesalahan dari suatu pernyataan disebut nilai kebenaran

dari pernyataan itu. Untuk pernyataan yang mempunyai nilai benar diberi tanda B

(singkatan dari benar) sedangkan kepada pernyataan yang bernilai salah diberikan

nilai kebenaran S (singkatan dari salah).

Dalam modul ini ucapan nilai kebenaran dilambangkan dengan “” (huruf

Yunani tau = 300). Nilai kebenaran dari suatu pernyataan p ditulis (p) , dan jika

pernyataan p itu adalah benar maka (p) = B, sedangkan jika pernyataan p itu salah

maka (p) = S.

Contoh

a. Jika p : “5 adalah bilangan genap”, maka (p) = S.

b. Jika q : “5<9, maka (q) = B.

c. Jika r : “Semua bilangan prima adalah ganjil”, maka (r) = S.

Perlu diketahui pula bahwa ada penulis yang memberikan nilai 1 atau benar

atau T (True) kepada pernyataan yang benar, dan memberikan nilai 0 atau salah atau

F (False) kepada pernyataan yang salah.

2. Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang memuat peubah/variabel, sehingga belum dapat ditentukan nilai kebenarannya (benar atau salah).

Contoh :

• 2(x)+3=11
• Jika x diganti 3, diperoleh “2(3) + 3 = 11”,merupakan pernyataan salah
• Jika x diganti 4, diperoleh “2(4) + 3 = 11”, merupakan pernyataan benar.

3. Negasi

Negasi (negation) atau penyangkalan, atau ingkaran adalah operasi

yang dikenakan hanya pada sebuah pernyataan. Operasi negasi dilambangkan

dengan tanda “~ “ yang disebut tilde atau curl. Untuk selanjutnya akan

dipakai symbol~.

Seandainya p sebuah pernyatan tunggal, maka “~p” dibaca negasi p atau

tidak p, atau bukan p, adalah pernyataan majemuk. Mungkin ada yang merasa agak

janggal bahwa negasi merupakan suatu operasi logika matemtika, sehingga suatu

pernyataan bernegasi atau penyangkalan dari suatu pernyataan merupakan suatu

pernyataan majemuk. Namun jelaslah bahwa dalam pernyataan-pernyataan negasi

itu pertama-tama terdapat suatu pernyataan atau proposisi yang bersifat tunggal,

misalnya :

Harimau adalah binatang buas

Untuk menjadikan suatu pernyataan negasi, diperlukan pernyataan lain, yang

menyatakan bahwa proposisi yang pertama tadi tidak benar, misalnya :

Itu tidak benar

Dengan demikian terdapatlah suatu proposisi negasi yang mejemuk :

(Itu) tidak benar bahwa harimau adalah binatang buas.

Proposisi negasi ini sering dibahasakan dengan menggunakan kata tidak atau

bukan. Proposisi mejemuk di atas juga bisa dinyatakan sebagai berikut :

Harimau adalah bukan binatang buas

Atau :

Tidak benar bahwa harimau binatang buas

Untuk lebih memahaminya coba Anda perhatikan beberapa contoh berikut ini.

Contoh

a. Jika p : 3 + 4 = 7

maka ~p : Tidaklah benar 3 + 4 = 7

atau : 3 + 4 7

b. Jika q : Semua bilangan prima adalah bilangan ganjil

maka ~q : Tidaklah benar semua bilangan prima adalah bilangan ganjil

atau : Beberapa bilangan prima bukan bilangan ganjil

Kalau Anda perhatikan, ternyata bahwa negasi dari sebuah pernyataan yang

benar adalah salah, dan negasi dari pernyataan yang salah adalah benar. Jadi,

(p) = B maka (~p) = S, dan jika (q) = S maka (~q) = B. Secara umum

berlaku :

Definisi : Sebuah pernyataan dan penyangkalannya mempunyai nilai kebenaran

yang berlawanan

Definisi ini dapat ditulis dalam bentuk tabel kebenaran seperti tabel berikut

Ini :

NO	p	~ p
1. 2.	B S	S B

Baris pertama (1) merupakan singkatan dari pernyataan “Jika p benar, maka ~p adalah salah”

4. Konjungsi

Suatu pernyataan majemuk yang dibentuk dengan cara menggabungkan dua

pernyataan tunggal dengan memakai kata perangkai dan disebut konjungsi

(conjunction). Sedangkan pernyataan-pernyataan tunggal yang digabungkannya

disebut konjung-konjung (komponen-komponen).

Dalam logika matematika, operasi konjungsi yaitu kata dan yang berfungsi

sebagai penghubung dua pernyataan tunggal menjadi pernyataan majemuk

dinotasikan dengan tanda “ ^ “ atau “ . “ (dot), tetapi tepapi dalam modul ini yang

akan dipakai adalah notasi “ ^ “.

Contoh

a. Jika p : 7 – 2 = 5

dan q : 5 adalah bilangan prima

maka p ^ q : 7 – 2 = 5 dan 5 adalah bilangan prima.

b. Jika p : Bandung Ibu kota Jawa barat

dan q : 3 + 7 = 10

maka p ^ q : Bandung Ibu Kota Jawa Barat dan 3 + 7 = 10.

Dalam membentuk pernyataan majemuk tidaklah diharuskan bahwa

pernyataan-pernyataan tunggal yang digabungkan satu sama lainnya mempunyai

suatu arti. Seperti halnya contoh 9. b di atas, antara pernyataan tunggal yang satu

dengan pernyataan tunggal yang satunya lagi tidak mempunyai kaitan arti apa-apa.

Hal ini berlaku pula untuk kalimat-kalimat majemuk lain yang dibentuk oleh

operasi-operasi logika yang lainnya.

Suatu pernyataan mejemuk sama seperti pernyataan tunggal adakalanya

mempunyai nilai kebenaran benar atau salah, tidak dua-duanya pada saat yang sama.

Nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk tergantung pada nilai kebenaran

konjung-konjungnya, yaitu nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan asalnya.

Contoh

Untuk lebih jelasnya coba Anda perhatikan satu contoh berikut ini :

Jika p : Ati adalah seorang wanita yang cantik.

dan q : Ati adalah seorang wanita yang pandai

maka p ^ q : Ati adalah anak yang cantik dan pandai.

Sekarang akan dicari nilai kebenaran pernyataan-pernyataan majemuk p ^ q,

jika nilai kebenaran dari komponen-komponennya yaitu p dan q diketahui.

Dalam hal ini, jelas bahwa jika p ^ q benar, maka p, q dua-duanya benar.

Demikian pula, jika p dan q masing-masing merupakan pernyataan yang benar,

maka dengan sendirinya p ^ q benar pula.

Sebaliknya, jika p dan q dua-duanya salah, maka p ^ q pasti salah. Demikian

pula, jika salah satu dari p atau q salah, maka p ^ q juga salah. Secara umum berlaku

definisi berikut.

Definisi : Sebuah konjungsi benar jika komponen-komponennya benar, tetapi salah

jika salah satu komponennya salah atau kedua-duanya salah.

Dalam bentuk tabel kebenaran definisi tersebut dapat Anda lihat seperti

berikut :

No	p	q	p ^ q
1. 2. 3. 4.	B B S S	B S B S	B S S S

Baris pertama (1) merupakan singkatan dari pernyataan : Jika p benar dan q benar, maka p dan q adalah benar.

Perlu Anda perhatikan, bahwa dalam menyusun suatu tabel kebenaran,

segala kemungkinan dari nilai kebenaran komponen-komponennya haruslah disusun

secara sistematis di bawah tiap komponen itu, yang selanjutnya digabungkan dengan

operasi yang telah ditentukan.

5. Disjungsi

Seandainya dua buah pernyataan tunggal digabungkan dengan kata-kata “

atau “, maka pernyataan majemuk yang diperoleh disebut “disjungsi” (disjunction

atau alternation), dan masing-masing dari kedua pernyataan tunggal itu disebut

“disjung-disjung (alternative).

Pengertian disjungsi yaitu yang berkaitan dengan kata “atau“ mempunyai

dua arti yang berbeda. Pertama “atau yang inclusive“ yang disebut juga “atau yang

lemah” atau “atau mencakup” yang dalam bahasa Latin ditunjukkan dengan kata “

vel “, yaitu kata “atau yang diartikan “dan atau” maksudnya menyatakan salah satu

atau kedua-duanya. Dalam pengertian yang pertama ini kata “atau” dinotasikan

dengan tanda “ v “ yang merupakan hurufpertama dari kata vel . dan simbol ini

disebut “wedge” atau “vel “. Untuk lebih jelasnya dari atau inklusif ini kita tinjau

sebuah contoh berikut :

“Ia sedang bercerita atau ia sedang memberikan pelajaran”.

Kata “atau” di sini dapat membenarkan kedua bagian pernyataan itu, artinya

mencakup bagian-bagiannya. Sebab orang bisa bercerita sambil memberi pelajaran.

Pengertian yang kedua, yaitu kata “atau yang exclusive” yang disebut juga

“atau yang kuat” atau “atau memisah”. Dalam kata Latinnya disebut “out”, yaitu

kata “atau” yang menyatakan salah satu tetapi tidak kedua-duanya, dan ditulis

dengan simbol “ v ”. Sebagai contoh disjungsi eksklusif ini adalah pernyataan

majemuk berikut :

“Saya yang pergi atau Anda yang pergi”

Kata atau dalam contoh ini berfungsi sebagai penghubung yang memisahkan

pernyataan yang satu dari yang lain, yaitu memisahkan “saya yang pergi” atau

“Anda yang pergi”. Dalam pernyataan ini tidak mungkin “saya dan Anda yang

pergi” tetapi harus salah satu “saya atau Anda yang pergi”.

Jadi sebuah disjungsi yang menggunakan “atau inklusif” menyatakan bahwa

paling sedikit satu komponen benar. Sedangkan disjungsi yang menggunakan “atau

eksklusif” menyatakan bahwa paling sedikit satu komponennya benar tetapi tidak

dua-duanya. Secara umum dapat dinyatakan seperti berikut.

Definisi : Sebuah disjungsi inklusif bernilai benar, jika paling sedikit satu

komponennya benar, dan sebuah disjungsi ekslusif bernilai benar, jika paling sedikit

satu komponennya benar tetapi tidak dua-duanya.

Tabel kebenaran “atau inklusif” (v), dan “atau eksklusif” ( v ) adalah seperti

tabel berikut :

p	q	P v q
B B S S	B S B S	B B B S
p	q	P v q
B B S S	B S B S	S B B S

Contoh

a. Jika p : 2 – 3 ≠ 3 – 2

dan q : 2 + 3 = 3 + 2

maka p v q : 2 – 3 ≠ 3 – 2 atau 2 + 3 = 3 + 2

b. Jika r : 4 > 3

dan s : 3 < 2

maka r v s : 4 > 3 atau 3 < 2

dan s v r : 3 < 2 atau 4 > 3 ;

6. Implikasi

Dalam matematika sering ditemukan pernyataan-pernyataan dalam bentuk

“jika maka”. Pernyataa dalam bentuk “jika maka” ini diperoleh dari penggabungan

dua pernyataan tertentu. Misalnya dari pernyataan tunggal p dan pernyataan tunggal

q, dibentuk kalimat baru yang merupakan pernyatan majemuk dalam bentuk “jika p

maka q”. Pernyataan-pernyataan yang berbentuk demikian disebut implikasi

(implication), atau kondisional (conditional statement) atau pernyataan-pernyataan

bersyarat.

Pernyataan “Jika p maka q” dinotasikan “ p → q”. Sedangkan

kata penghubung dengan notasi “ → “disebut operasi implikasi.

Selanjutnya notasi implikasi yang akan dipakai dalam modul ini adalah notasi “→ ”

Perhatikan sebuah contoh pembentukan pernyataan implikasi sebagai

berikut:

Contoh 14

Jika p : Segitiga ABC samakaki

dan q : Segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama

maka p → q : Jika semua segitiga ABC samakaki, maka segitiga ABC mempunyai

dua sudut yang sama.

Dalam pernyataan implikasi, komponen kalimat yang terletak diantara “jika”

dan “maka”, yaitu bagian kalimat yang lebih dulu yang menjadi syarat disebut

“anteseden” (antecedent). Sedangkan komponen pernyataan yang ditulis kemudian,

yaitu bagian belakang yang merupakan akibatnya atau yang mengikutinya disebut

“konsekwen” (consequent).

Untuk contoh di atas yang menjadi anteseden adalah kalimat p : “Segitiga

ABC samakaki”, dan yang menjadi konsekwen adalah kalimat q : “Segitiga ABC mempunyai dua sudut yang sama.

Sekarang akan diselidiki nilai kebenaran dari suatu implikasi, tetapi

sebelumnya kita tinjau dahulu beberapa implikasi yang berbeda, sehingga kita dapat

melihat adanya macam-macam implikasi yang berlainan.

Untuk lebih jelasnya tentang dalam hal manakah implikasi yang berbeda-

beda itu salah, kita tinjau kembali ketiga contoh di atas, dalam keadaan berikut :

a. Jika semua kucing suka makan tikus dan si Belang seekor kucing, maka si Belang

tidak suka makan tikus.

b. Jika gambar itu benar-benar sebuah segitiga, maka gambar itu tidak mempunyai

tiga sisi.

c. Jika karet itu benar-benar direndam dalam bensin, maka karet itu tidak akan larut.

Nilai kebenaran dari ketiga implikasi yang baru ini, adalah salah. Jadi, suatu

implikasi dengan anteseden benar dan konsekwen salah haruslah salah.

Karenanya tiap implikasi “Jika p maka q” bernilai salah dalam hal konjungsi : “p ^~q” benar. Tetapi agar implikasi “Jika p maka q” bernilai benar, maka

konjungsi “p ^ ~q” harus salah. Dengan kata lain, supaya suatu implikasi “Jika p

maka q” benar, maka ~ (p ^ ~ q) harus benar. Tabel kebenarannya seperti berikut:

p	q	~p	p^~q	~ (p^~q)	p→q
B B S S	B S B S	S B S B	S B S S	B S B B	B S B B

Atau secara singkatnya tabel kebenarannya seperti berikut :

p	q	p→q
B B S S	B S B S	B S B B

Secara umum berlaku :

Definisi : Suatu pernyataan implikasi hanya salah jika antisedennya benar dan

konsekwennya salah, dalam kemungkinan lainnya pernyataan implikasi itu adalah

benar.